世界上最公平的骰子

　　（注：原文我首发于《知识分子》，编辑是夏志坚。题图来自pixabay）
斯坦福大学的佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis）教授是举世著名的概率学家。他一生的经历颇为传奇：15岁辍学离家（并且再也没有回去），跟随现代近景魔术的开山鼻祖戴·福农（Dai Vernon）学习魔术。魔术师经常要跟纸牌、骰子和硬币打交道。而纸牌，骰子和硬币的运行，往往是由统计学规律所决定的。在研究这些道具的过程中，戴康尼斯对概率统计产生了浓厚的兴趣，于是在几经颠沛流离之后，重新回到学校学习，并从此走上概率论大家的道路。


成名之后的戴康尼斯可谓初心不改。他的研究往往还是以纸牌博彩资讯、骰子和硬币的规律做为引子。比如他最著名的工作，就是研究一副纸牌要洗多少次才可以称得上洗得均匀，证明过程相当复杂，大家只要记住结论就好了——如果用交错洗牌法（Riffle shuffle），一副扑克牌要洗七次才算得上均匀。


这样一位文体两开花的学术大牛，却在某次给本科生上基础数学课程的时候，在他最擅长的方向上栽了个小跟头。当时他正手舞足蹈，绘声绘色地给大家讲解基础几何学领域的一个经典结论：这个世界上，正多面体只有五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。直觉上，这些正多面体的每一个面都是一样的，因此都可以用来做骰子：正多面体的骰子，任何一个面朝上的概率都会相等。


“所以” ，他得意地总结道， “这个世界上只有五种公平的骰子。” 这个时候，一个本科生举起了小手，说道： “可是我有一个三十面体的骰子。” 教授瞪大了眼睛，说道： “不，你没有。” “我有。” 本科生坚持道。


他的确有一个三十面体的骰子。准确地说，叫做菱形三十面体。

（图片来源：Walmart）这个骰子有三十个面，每个面都是一样的菱形。每个面也都邻接着其他四个面。因为每个面都是一样的，每个面朝上的概率也均等。这个三十面体的骰子，的确是公平的。


不过，这个骰子并不是正多面体。正多面体，不仅每一个面是一样的，每一条边，每一个顶点都是一样的。如果你认真观察上图的那个骰子，会发现并不是每一个顶点都是一样：面26，27和面30共用的顶点，由三条边交会组成，而面17，18，19，27，和面26共用的顶点，却由五条边交会组成。所以，这个骰子并没有正多面体那么对称。


这个小小的差错，促使戴康尼斯开始思考一个（看起来并没有什么用的）问题：那么，这个世界上到底有多少种公平的骰子呢？这个问题等于是问，这个世界上到底有多少种每一个面互相之间都是对称的多面体？


经过一番不算太难的研究，他发现满足面对称的骰子一共有三十种（或者说三十个族群）。

图片来源：Numberphile故事到这里并没有结束。这三十组骰子，有的比较容易通过技术操控——只要经过训练，把握好初始的投掷的力道和方向，就有可能得到想要的结果。例如抛硬币就比掷六面的骰子容易控制得多。训练好的人，可以做到每一次抛硬币的结果都一样；与之相比，六面的骰子运动规律则十分复杂，只要投掷的力道稍有偏差，最后的结果都会不一样。


这个问题，等价于混沌系统里面的 “蝴蝶效应” 问题：如果初始条件稍有偏差，系统最终行为的偏差会有多大呢？对初始条件更敏感的骰子，更难以操控。


因此， “所有的骰子都是平等的，而有些骰子比别的骰子更平等。”


正是：一粒骰子见世界，道是无常却有常。谁在掷骰子的时候，会想到一颗骰子可以滚得这么远呢？




参考文献：
[1]https://www.youtube.com/watch?v=G7zT9MljJ3Y
[2]How Do You Know if Dice Are Really Fair? Math.
[3] Diaconis, Persi, and Joseph B. Keller."Fair dice." The American Mathematical Monthly 96.4 (1989): 337-339.